ITA 2021 — Questão 41 · Propriedades dos determinantes

Notações ℕ = {1, 2, 3, ...}: o conjunto dos números naturais. $ℝ$: o conjunto dos números reais. ℂ : o conjunto dos números complexos. $i$: unidade imaginária, $i^2=-1$. $\overline{\mathrm{AB}}$: segmento de reta de extremidades nos pontos A e B. $\widehat{\mathrm{AOB}}$: ângulo formado pelos segmentos $\overline{\mathrm{OA}}$ e $\overline{\mathrm{OB}}$, com vértice no ponto O. $m\left(\overline{\mathrm{AB}}\right)$: medida do segmento $\overline{\mathrm{AB}}$. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações: I. ${\left(A+B\right)}^2=A^2+2\mathrm{AB}+B^2$. II. A comuta com qualquer matriz simétrica. III. B comuta com qualquer matriz antissimétrica. IV. det (A B) = 0: É(são) VERDADEIRA(S):