ITA 2020 — Questão 48 · Raiz de um Polinômios

Notações ℝ: conjunto dos números reais. ℕ = {1, 2, 3, …}: conjunto dos números naturais. ∅: conjunto vazio. i: unidade imaginária, $i^2=-1$. $\overline{\mathrm{AB}}$: segmento de reta de extremidades nos pontos A e B. $A\widehat{O}B$: ângulo formado pelos segmentos $\overline{\mathrm{OA}}$ e $\overline{\mathrm{OB}}$, com vértice no ponto O. [a, b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b}. C ∩ D = interseção entre os conjuntos C e D. $M^2=\mathrm{MM}$, isto é, o produto da matriz quadrada M com ela mesma. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. Considere o polinômio $p\left(x\right)=x^3-{\mathrm{mx}}^2+x+5+n$, sendo $m,n$ números reais fixados. Sabe-se que toda raiz $z=a+\mathrm{bi}$, com $a,b\in ℝ$, da equação $p\left(z\right)=0$ satisfaz a igualdade $a={\mathrm{mb}}^2+\mathrm{nb}-1$. Então, a soma dos quadrados das raízes de $p\left(z\right)=0$ é igual a