Prefeitura de Lagoa Seca 2024 — Questão 40 · Conjunto dos Números Irracionais

No ano de 2024, na sua aula de Divertimentos Matemáticos, o Professor Numerisvaldo Perplexo, levando em consideração que todos os seus alunos nasceram depois dos anos 2000, propôs o seguinte problema:

Seja $\mathcal{L}$ o conjunto de todos os pontos $z=a+ib=(a,b)\in$ $\mathbb{C}$ \ $\{-i=(0,-1)\}$ que satisfazem à equação

$\mid \begin{array}{c}z-i\\ \overline{z+i}\end{array}\mid$ = AAAA,

em que cada aluno que estava na aula deveria substituir AAAA pelo ano do seu nascimento. O que se pode afirmar a respeito dos pontos

$z=a+ib=(a,b)\in$ $\mathcal{L}$ ∩ $\left(\mathbb{Q}x\mathbb{Q}\right)$?

Após analisar o problema, três dos alunos expuseram suas conclusões:

I- Zé Gauss disse que $\mathcal{L}$ ∩ $\left(\mathbb{Q}x\mathbb{Q}\right)$ é sempre diferente do conjunto vazio.

II- Chico Euler disse que os pontos de $\mathcal{L}$ ∩ $\left(\mathbb{Q}x\mathbb{Q}\right)$, quando este conjunto é diferente do vazio, estão sempre sobre uma circunferência.

III- Tião Argand disse que para alguns valores de AAAA o conjunto $\mathcal{L}$ ∩ $\left(\mathbb{Q}x\mathbb{Q}\right)$ é vazio.

É CORRETO o que se afirma apenas em: