Prefeitura de Caturité 2023 — Questão 26 · Funções

De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, todo número natural n>1 escreve-se, de forma única, como

$n=p_1{}^{{\alpha }_1}\cdot p_2{}^{{\alpha }_2}\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot p_k{}^{{\alpha }_k}$,

para algum $k\in \mathbb{N}=\{1,2,3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\}$, em que $p_1<p_2<\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}<p_k$ são números primos e cada expoente ${\alpha }_i,i=1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},k$, é um número natural.

Assim, por exemplo, 16 = 2⁴, 17 = 17¹ e 18 = 2¹ · 3².

Denotando por $\mathbb{N}=\{1,2,3\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\}$ o conjunto de todos os números naturais, considere as seguintes funções:

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

$n\mapsto f\left(n\right)=$ $\{\begin{array}{c}1,sen=1\\ {\alpha }_1,se{p}_1^{{\alpha }_1}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}{p}_k^{{\alpha }_k}=n>1\end{array}$

e

$g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

$n\mapsto g\left(n\right)=$ $\{\begin{array}{c}1,sen=1\\ p_1,se{p}_1^{{\alpha }_1}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}{p}_k^{{\alpha }_k}=n>1\end{array}$

É CORRETO afirmar que