ITA 2022 — Questão 40 · Polinômios

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

$\mathbb{N}$ = {1,2,3,...}: denota o conjunto dos números naturais.

$\mathbb{R}$: denota o conjunto dos números reais.

$\mathbb{C}$: denota o conjunto dos números complexos.

$i$: denota a unidade imaginária, $i^2$ = $-$1.

M_n ($\mathbb{R}$): denota o conjunto das matrizes $n\times n$ de entradas reais.

undefined: denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

AÔB: denota o ângulo formado pelas semi-retas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$, com vértice no ponto O.

undefined(undefined) : denota o comprimento do segmento $\overline{AB}$.

det A: denota o determinante da matriz A.

A média harmônica de $n$ números reais positivos $a_1,a_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},a_n$ é

$H=\frac{n}{\frac{a}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+\frac{1}{a_n}}\mathrm{.}$

Sabendo que o polinômio $p\left(x\right)=30x^3-113x^2+108x-30$ possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de $p(x)$ é