ITA 2022 — Questão 38 · Conjunto dos Números Complexos (ou imaginários)

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.

$\mathbb{N}$ = {1,2,3,...}: denota o conjunto dos números naturais.

$\mathbb{R}$: denota o conjunto dos números reais.

$\mathbb{C}$: denota o conjunto dos números complexos.

$i$: denota a unidade imaginária, $i^2$ = $-$1.

M_n ($\mathbb{R}$): denota o conjunto das matrizes $n\times n$ de entradas reais.

undefined: denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.

AB: denota a reta que passa pelos pontos A e B.

AÔB: denota o ângulo formado pelas semi-retas $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$, com vértice no ponto O.

undefined(undefined) : denota o comprimento do segmento $\overline{AB}$.

det A: denota o determinante da matriz A.

Sejam $z$ $\in$ $\mathbb{C}$ e $f(z)$ = $z^2+i$. Para cada $n$ $\in$ $\mathbb{N}$, definimos $f$${}^{\left(1\right)}\left(z\right)$ = $f(z)$ e $f^{\left(n\right)}\left(z\right)$ = $f\left(f^{(n-1)}\left(z\right)\right)$. Então, $f^{\left(2023\right)}\left(0\right)$ é